Was ist was sind primzahlen?

Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Das bedeutet, dass sie genau zwei positive Teiler hat: 1 und die Zahl selbst.

Definition:

• Eine natürliche Zahl n > 1 ist eine Primzahl, wenn sie keine positiven Teiler außer 1 und n hat.

Beispiele:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sind Primzahlen.
• 4 ist keine Primzahl, da sie durch 1, 2 und 4 teilbar ist.
• 1 ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler hat (sich selbst).

Wichtige Eigenschaften und Konzepte:

• Teilbarkeit: <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Teilbarkeit">Teilbarkeit</a> ist ein fundamentales Konzept beim Verständnis von Primzahlen. Wenn eine Zahl a eine andere Zahl b teilt, bedeutet das, dass die Division von b durch a eine ganze Zahl ergibt.
• Zusammengesetzte Zahlen: <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Zusammengesetzte%20Zahlen">Zusammengesetzte Zahlen</a> sind alle natürlichen Zahlen größer als 1, die keine Primzahlen sind. Sie haben also mehr als zwei Teiler.
• Der Fundamentalsatz der Arithmetik: <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Fundamentalsatz%20der%20Arithmetik">Der Fundamentalsatz der Arithmetik</a> besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 entweder selbst eine Primzahl ist oder als eindeutiges Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann (bis auf die Reihenfolge der Faktoren). Beispiel: 12 = 2 x 2 x 3.
• Verteilung von Primzahlen: Die Verteilung von Primzahlen ist ein wichtiges Forschungsgebiet in der Zahlentheorie. Es gibt unendlich viele Primzahlen (bewiesen durch Euklid), aber ihre Verteilung ist nicht regelmäßig. Der <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Primzahlsatz">Primzahlsatz</a> gibt eine asymptotische Schätzung für die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich einer gegebenen Zahl.
• Primzahltests: <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Primzahltests">Primzahltests</a> sind Algorithmen, die verwendet werden, um zu bestimmen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Beispiele hierfür sind der Sieb des Eratosthenes und der Miller-Rabin-Test.
• Anwendungen: Primzahlen spielen eine wichtige Rolle in der <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Kryptographie">Kryptographie</a>, insbesondere bei der Verschlüsselung mit öffentlichen Schlüsseln, wie RSA. Die Schwierigkeit, große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen, wird hierbei ausgenutzt.

Zusammenfassend: Primzahlen sind grundlegende Bausteine der natürlichen Zahlen und spielen eine entscheidende Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und Informatik.